Фамилия Айгитсов — редкий случай, когда русская патронимическая модель наложилась на нерусскую основу, причём с двойным суффиксом. Если разобрать её по составу, сразу бросается в глаза необычное сочетание: корень «Айгит» плюс два форманта — сначала «-ов», потом ещё раз «-ов». Такая конструкция (Айгит + ов + ов) встречается в русских фамилиях крайне редко и говорит о том, что фамилия формировалась не одномоментно, а прошла через этап переоформления.

Скорее всего, исходная форма выглядела как Айгитов — от личного имени или прозвища Айгит. Но по какой-то причине (описка в документе, желание «укрепить» фамилию, влияние местного говора) к ней добавили ещё один суффикс принадлежности. В результате получился своеобразный «патроним в квадрате», который и закрепился в документах. В ономастике такие случаи называют «наращением суффикса» — когда носители или писарь воспринимали первый «-ов» как часть основы и добавляли новый, чтобы подчеркнуть родовую принадлежность.

Основа «Айгит» — тюркская. Она восходит к двум словам: «ай» (луна, месяц) и «гит» (в разных тюркских языках — «уходи», «иди» или, реже, «сын»). Самая вероятная версия: Айгит — это составное мужское имя, распространённое у татар, башкир, казахов и других тюркских народов. В буквальном переводе оно может означать «ступай, как месяц» (пожелание красоты и плавности) или «лунный сын». Встречается также вариант Айгит как прозвище человека, родившегося в новолуние или отличавшегося особой статью. Вторая версия, менее популярная, связывает «гит» с тюркским «кит» — «уходи», что могло быть именем-оберегом, данным, чтобы отогнать злых духов.

Носитель такой фамилии — почти наверняка потомок крещёного татарина или башкира, перешедшего в православие. В XVI–XIX веках многие тюрки, принимая крещение, получали русские фамилии, образованные от их прежних имён по стандартной модели «имя + -ов». Айгитсов — яркий пример такой адаптации: имя осталось тюркским, а фамильная форма стала русской, да ещё и с избыточным суффиксом, который выдает долгую историю бытования в русской среде. Двойной суффикс мог закрепиться именно в крестьянской среде, где документы переписывались со слуха или по памяти, и писарь, видя фамилию Айгитов, «на всякий случай» добавлял ещё одно окончание, чтобы она звучала «по-русски» основательнее.

Встречается фамилия преимущественно в Поволжье и на Урале — в регионах, где веками жили татары и башкиры, а после христианизации их потомки влились в состав русского крестьянства и мещанства. Сословная принадлежность предков Айгитсовых, скорее всего, была крестьянской или однодворческой — никаких дворянских корней у этой модели нет. В метрических книгах XIX века такие фамилии чаще всего фиксировались у государственных крестьян бывших Казанской, Уфимской и Оренбургской губерний. Если ваши предки носили фамилию Айгитсов, ищите их корни именно в этих краях — среди крещёных татар-кряшен или башкир, принявших православие.