Фамилия Айвадис сразу выдает нерусское происхождение — её выдает суффикс -ис, типичный для новогреческой модели образования фамилий. В греческой среде такой суффикс указывал на принадлежность к роду: Айвадис буквально значит «сын Айвада» или «из рода Айвада». Но основа фамилии ведет нас не в греческую, а в тюркскую или армянскую языковую среду. Имя Айвад — вариант имени Айваз, которое восходит к тюркскому слову «айваз» («сокольничий», «ловчий») либо к персидскому «господин». Так что предок, давший фамилию, мог быть сокольничим, знатью или просто носить соответствующее прозвище.

Фамилия прочно связана с греками Приазовья и понтийскими греками, которые переселялись в Российскую империю из Крыма и Малой Азии. Для греков-«румеев» фамилии на -ис (Айвадис, Хаджидис, Павлидис) стали одним из главных маркеров национальной идентичности. В русских документах фамилию часто записывали на слух, поэтому встречаются варианты Айвади, Айвадов. Последний вариант — с русским суффиксом -ов — результат русификации: греческую фамилию подгоняли под привычную модель, заменяя греческий суффикс на славянский.

Носитель фамилии Айвадис почти наверняка — потомок греческого переселенца, занимавшегося, возможно, соколиной охотой или носившего прозвище Айваз. Фамилия редкая, в основном встречается на юге России (Краснодарский край, Ростовская область) и в Греции. В современной России она сохраняется в основном в семьях, которые помнят о своих понтийских корнях. Поскольку фамилия не массовая, её носители часто знают свою родословную и могут проследить её до конкретного предка-переселенца.