Фамилия Азашикова — женская форма, мужской вариант — Азашиков. Чтобы понять её происхождение, разберём основу по частям, потому что словообразовательная модель здесь нестандартная и редкая.

В основе лежит тюркское мужское имя Азаш. Оно восходит к арабскому имени Азат, что значит «свободный, благородный». Переход «т/ш» — характерное для ряда тюркских языков чередование, встречающееся, например, в башкирском и татарском: Азат → Азаш, где «ш» — результат смягчения конечного согласного. К имени добавили уменьшительно-ласкательный суффикс -ик, типичный для тюркских языков: так могли называть младшего сына, подростка или просто ласково — «маленький Азаш». Получается, что прозвище Азашик означало «маленький свободный» или «сын Азаша».

Сама фамилия образована по русской патронимической модели с суффиксом -ов: Азашик → Азашиков. Это указывает на то, что носители жили в зоне активного русско-тюркского контакта — Поволжье, Урал или Западная Сибирь, где татары, башкиры или казахи переходили на русскую фамильную систему в XVIII–XIX веках. Фамилия не слишком распространена, что говорит о её локальном характере: она могла закрепиться за одним родом в конкретном селе или ауле.

Обратите внимание на редкость модели: если большинство тюркских фамилий на -ов образованы от имён без уменьшительного суффикса (Азатов, Азашев), то Азашиков сохранил промежуточную форму с -ик, что делает его морфологически более архаичным. Встречаются однокоренные фамилии Азашев, Азатов, Азашов, но Азашиков — самый редкий вариант. Возможно, он указывает на конкретную ветвь рода, где уменьшительное имя закрепилось как официальное.

Таким образом, предки носителя фамилии Азашиков — скорее всего, тюркоязычные крестьяне или ремесленники, получившие фамилию по отцу, которого в семье ласково звали Азашиком. Географически фамилия тяготеет к регионам, где татарское или башкирское население массово принимало православие и русские фамилии, но точная локализация требует архивных данных по конкретному роду.