Фамилия Азашикова — женская форма, мужской вариант — Азашиков. В основе лежит тюркское мужское имя Азаш, которое в свою очередь восходит к арабскому имени Азат (свободный, благородный) с характерным для ряда тюркских языков чередованием «т/ш». Этот звуковой переход встречается, например, в башкирском и татарском именах: Азат → Азаш, где «ш» — результат смягчения конечного согласного. Суффикс -ик в основе (Азаш + ик) — уменьшительно-ласкательный, типичный для тюркских языков: так могли называть младшего сына, подростка или просто ласково — «маленький Азаш». Получается, что прозвище Азашик означало «маленький свободный» или «сын Азаша».

Фамилия образована по русской модели с патронимическим суффиксом -ов: Азашик → Азашиков. Это говорит о том, что носители фамилии, скорее всего, жили в зоне активного русско-тюркского контакта — например, в Поволжье, на Урале или в Западной Сибири, где татары, башкиры или казахи переходили на русскую фамильную систему в XVIII–XIX веках. Фамилия не слишком распространена, что указывает на её локальный характер: она могла закрепиться за одним родом в конкретном селе или ауле.

Словообразовательная модель здесь редкая: если большинство тюркских фамилий на -ов образованы от имён без уменьшительного суффикса (Азатов, Азашев), то Азашиков сохранил промежуточную форму с -ик, что делает его морфологически более архаичным. Встречаются также однокоренные фамилии Азашев, Азатов, Азашов, но Азашиков — самый редкий вариант, возможно, указывающий на конкретную ветвь рода, где уменьшительное имя закрепилось как официальное.

Таким образом, предки носителя фамилии Азашиков — скорее всего, тюркоязычные крестьяне или ремесленники, получившие фамилию по отцу, которого в семье ласково звали Азашиком. Географически фамилия тяготеет к регионам, где татарское или башкирское население массово принимало православие и русские фамилии, но точная локализация требует архивных данных по конкретному роду.