Фамилия Азауцкая в своей основе хранит имя или прозвище Азау, а тот, скорее всего, связан с известным кавказским топонимом — ледниками Азау на южном склоне Эльбруса. Основатель рода Азауцких, вероятно, жил неподалоги от этих мест, и его прозвали по месту жительства или по обстоятельствам, связанным с этой землей.

Сам топоним «Азау» окружен несколькими легендами, и ни одна из них не противоречит фамилии. Профессор КБГУ Джемалдин Коков выводил название из имени воина Азова, скрывавшегося здесь от кровной мести. По другой версии, «аз» и «ау(ауш)» с балкарского означают «редко переходить» — то есть глухое, малодоступное место. Но самая убедительная трактовка принадлежит местному старику-балкарцу: баксанцы попросили князя Атажукина защитить их от набегов соседей, и тот прислал воина по имени Азао. Азао навел порядок, но погиб от кровной мести, и поляну, где его похоронили, назвали Азау. С кабардинского «Iэзу» (азу) — «умело» и «зауэ» (зао) — «драться, воевать», то есть Азао — «умело воюющий».

Фамилия образована по модели с суффиксом -цк-, типичной для польской, украинской и южнорусской ономастики, но в данном случае она могла закрепиться и на Кавказе под влиянием русской административной традиции. Окончание -ая указывает на женскую форму, мужской вариант — Азауцкий. Потомок человека с прозвищем Азауцкий (или просто Азау) со временем получил фамилию Азауцкая.