Фамилия Азелицкая — редкая и неочевидная. Её основа не лежит на поверхности, а суффикс -ск- указывает на типично дворянский или шляхетский способ образования: такие фамилии чаще всего давали по названию поместья, села или местечка. Поэтому первая и главная версия: Азелицкая происходит от географического названия. Где-то могло существовать село, урочище или хутор с корнем «Азел-» — например, Азелицы, Азелица, Азелич. Точного населённого пункта с таким именем в современных атласах нет, но это не удивительно: многие мелкие поселения исчезли или переименованы.

Если отталкиваться от звучания, корень «азел-» может быть связан с диалектным словом или иноязычным заимствованием. В польском и белорусском языках есть слово «azyl» (убежище, приют), но оно дало бы скорее фамилию Азильский. Ближе — литовские и балтские топонимы, где «az-» или «azel-» встречается в названиях озёр и болот (например, озеро Азель в Латвии). В таком случае предок-шляхтич или крестьянин получил фамилию по месту жительства: «из Азелиц». Форма на -цкая (а не -ская) типична для западнорусских и польских земель, особенно для бывших территорий Речи Посполитой.

Существует и более прозаичная версия. В русских говорах слово «азел» или «озел» могло означать осла (от греческого «onagros» через церковнославянский) — прозвище упрямого или нерасторопного человека. Однако в этом случае фамилия скорее звучала бы как Азелов или Азельский. Суффикс -ицк- чаще привязан к топонимам, чем к личным прозвищам. Поэтому топонимическая гипотеза правдоподобнее.

Социальный контекст тоже важен. Фамилии на -цкий/-ский в Российской империи до XIX века были маркером дворянства или духовенства. Азелицкая могла принадлежать обедневшему шляхетскому роду, который потерял земли, но сохранил фамильную память о родовом гнезде. Впрочем, после реформ 1860-х годов такие фамилии получили и крестьяне, переселившиеся из западных губерний.

Написание фамилии устойчивое — через «а» и с мягким знаком. Вариант с двумя «з» (Аззелицкая) маловероятен: удвоение нехарактерно для славянских фамилий этой модели. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в Псковской, Смоленской или Минской губерниях — именно там чаще всего встречаются топонимы с похожей основой.