Фамилия Азеуш звучит для русского уха нестандартно, и это не случайно: её происхождение почти наверняка западноевропейское, а именно португальское. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, которые образуются с помощью суффиксов -ов, -ев или -ин, Азеуш не получила никакой славянской обработки. Она пришла в русский язык в готовом виде — как транслитерация португальской фамилии Azeus (или её более полной формы Azevedo). Окончание -us в португальском звучит близко к русскому «-уш», что и закрепилось на письме.

Основа фамилии — топонимическая. В Португалии и Бразилии известна фамилия Азеведу, которая восходит к названию местности Azevedo. Это слово связано с azevinho — «падуб» или «остролист». Таким образом, Азеуш буквально означает «роща падуба» или «заросли остролиста». Предок первого носителя, вероятно, жил в местности, где росли эти кустарники, что и дало название его роду.

География бытования фамилии Азеуш в России крайне узкая. В дореволюционных метрических книгах и переписях она практически не фиксируется, что подтверждает её недавнее происхождение в русском контексте. Встречается она в основном среди потомков португальских эмигрантов или, реже, в смешанных браках. В самой Португалии и Бразилии Азеуш — вариант более распространённой фамилии Азеведу, которая дала начало нескольким дворянским родам.

Социальный контекст в России у фамилии отсутствует: носители не принадлежали к какому-либо сословию исторически. Фамилия пришла вместе с носителями в XX веке, возможно, через революционную эмиграцию или более поздние волны. Отсутствие русских суффиксов указывает на то, что адаптация не потребовалась — фамилия сохранила исходное написание и звучание.