Фамилия Аждлогежыжук — не просто редкая, а, судя по всему, искусственно сконструированная или искажённая запись. Её невозможно разобрать по стандартной модели «основа + суффикс», и ни в одном доступном ономастическом словаре (Унбегауна, Никонова, Веселовского) она не зафиксирована. Перед нами исключительный случай, когда фамилия не поддаётся традиционному этимологическому анализу.

Ключ к разгадке — в её структуре. В русском языке нет корней «ажд», «лог», «еж» и «ыжук», которые складывались бы в осмысленное слово. Скорее всего, это результат механической ошибки при переписи или вводе в базу данных. Обратите внимание на чередование букв: «жд» и «ж» — типичная опечатка при наборе на клавиатуре, когда палец соскальзывает на соседние клавиши. Исходной могла быть фамилия «Андрогеевич», «Аглогеевич» или что-то вроде «Жежук» (сравните с украинской фамилией Жежук, от прозвища «жежа» — жгучий, горячий человек). Прибавка «Аждлоге» — это, вероятно, сбойные символы, которые «приклеились» к основе.

Второй вариант, менее вероятный, — фамилия-гибрид, созданная в XX веке из аббревиатуры или неологизма. Но даже в этом случае она не подчиняется правилам русской морфологии: суффиксы -ук, -юк типичны для западноукраинских и белорусских фамилий (Ковальчук, Павлюк), но перед ними стоит бессмысленный набор звуков.

Поэтому для носителя фамилии Аждлогежыжук ответ прагматичный: ваша фамилия почти наверняка не имеет исторического корня в традиционной русской ономастике. Она возникла из-за ошибки. Чтобы узнать истинное происхождение, нужно искать первичный документ (метрику, запись в ревизской сказке), где фамилия записана правильно. Без этого любая попытка расшифровки — гадание. Единственное, что можно сказать наверняка: по суффиксу -жук ваши предки могли быть выходцами с запада России, Украины или Беларуси, а сама фамилия, скорее всего, звучала короче и осмысленнее — например, Жук, Жежук, Логожук или Андрожук.