Фамилия Азирашвили построена по самой частотной в Грузии модели — с суффиксом -швили, который означает «сын» или «потомок». На вопрос «чей?» она отвечает прямо: «сын Азира». Но загвоздка в том, что имени Азир в грузинских святцах или традиционном именослове нет. Значит, перед нами либо местный диалектный вариант, либо запись на слух другого, более известного имени.

Самая убедительная версия — связь с арабским именем Азиз («могучий», «дорогой», «уважаемый»). В грузинской устной речи конечный звук «з» мог перейти в «р» — явление нередкое для некоторых диалектов восточной Грузии. Так Азиз превратился в Азира, а отчество от него — в Азирашвили. То есть фамилия означает «потомок Азиза». Такое фонетическое смещение встречается и в других заимствованных именах, поэтому версия выглядит крепкой. Регионально модель на -швили исторически доминирует в Кахетии и Картли, оттуда, скорее всего, и пошли носители фамилии.

Менее убедительна гипотеза о тюркском корне «азир» в значении «готовый» или «приготовленный». Тюркские заимствования в грузинских фамилиях встречаются, но обычно они ложатся в основу прозвищ по занятию или предмету быта. Прозвище «Готовый» как личное имя маловероятно, поэтому эта версия заметно слабее.

Фамилия редкая, не входит в списки массовых грузинских фамилий. Это косвенно подтверждает её происхождение от конкретного, не слишком распространённого имени, а не от нарицательного слова или титула. Сословную принадлежность предков по суффиксу -швили не определить: такую форму носили и князья, и крестьяне. Если искать родственные фамилии за пределами Грузии, стоит посмотреть на Азизов (русская передача от тюркского отчества), Азизян (армянская форма) и Азиз-оглы (азербайджанская) — все они восходят к тому же арабскому имени Азиз.