Фамилия Азияшвили — типичный пример грузинской фамилии, построенной по одной из самых распространённых в этой культуре моделей. Конечный элемент -швили переводится с грузинского как «сын» или «потомок», буквально «дитя». Вместе с фамилиями на -дзе этот суффикс относится к древнейшему пласту грузинской ономастики и исторически был особенно характерен для восточной Грузии — Кахетии и Картли. Дословно фамилия означает «сын Азии» или «потомок Азии».

Основа Азия в данном случае — это не название континента, а мужское личное имя или прозвище. В грузинской антропонимии имя Азия (встречается и вариант Азиа) чаще всего выступает как сокращённая форма от полных имён. Наиболее вероятные источники: Азиз (арабского происхождения, означает «могущественный», «дорогой») или Азат (персидского, «свободный»). Обе эти основы были хорошо знакомы грузинам через соседние культуры и торговые связи. Версия, что прозвище Азия дали человеку, имевшему отношение к Передней Азии (торговцу, путешественнику или выходцу оттуда), менее правдоподобна: прозвища по странам света для грузинской традиции нехарактерны.

Фамилия Азияшвили не относится к числу частых. Её носители встречаются в основном в Грузии, а также в среде грузинской диаспоры в России. В официальных документах Российской империи XIX века, при фиксации грузинских фамилий, форма могла записываться и как Азиашвили (с буквой «и» после «з»). Это связано с особенностями грузинского произношения и русской транслитерации: грузинское произношение имени Азия ближе к «Азиа», что и отражалось в письме.

В отличие от фамилий на -дзе, которые в Грузии чаще ассоциировались со знатью, фамилии на -швили были распространены во всех сословиях — от крестьян до князей. Поэтому по одной только фамилии Азияшвили определить социальное происхождение предков невозможно. Для этого потребовались бы архивные документы конкретной семьи.