Фамилия Азияшвили — типичный пример грузинской фамилии, образованной по одной из самых распространённых в этой культуре моделей. Конечный элемент -швили в переводе с грузинского означает «сын» или «потомок» (буквально «дитя»). Таким образом, фамилия дословно означает «сын Азии» или «потомок Азии». В грузинской ономастике фамилии на -швили (наряду с -дзе) относятся к древнейшему пласту и исторически были особенно характерны для восточной Грузии — Кахетии и Картли.

Основа Азия в данном случае — не географическое название континента, а мужское личное имя или прозвище. В грузинской антропонимии имя Азия (или Азиа) встречается как сокращённая форма от полных имён, например, от Азиз (арабского происхождения, означает «могущественный», «дорогой») или от Азат (персидского, «свободный»). Возможно также, что прозвище Азия давали человеку, имевшему какое-либо отношение к регионам Передней Азии — торговцу, путешественнику или выходцу оттуда, но это менее вероятно, так как прозвища по странам света для грузин нехарактерны.

Фамилия Азияшвили не относится к числу очень частых. Её носители встречаются в основном в Грузии, а также в среде грузинской диаспоры в России. В официальных документах Российской империи XIX века, при фиксации фамилий грузинских князей и дворян, форма Азияшвили могла записываться и как Азиашвили (с буквой «и» после «з»), что связано с особенностями грузинского произношения и русской транслитерации. В отличие от фамилий на -дзе, которые в Грузии чаще ассоциировались со знатью, фамилии на -швили были распространены во всех сословиях, поэтому по одной только фамилии определить социальное происхождение предков невозможно.