Фамилия Азизунгаре — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение лежит далеко за пределами славянских земель. В основе — арабское имя Азиз (عزيز), означающее «могущественный», «дорогой», «уважаемый». Вторая часть, «унгаре», с большой вероятностью указывает на этническую или географическую привязку к Венгрии. В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, слово «мадьяр» или его варианты (например, «унгар») издавна использовали для обозначения венгров. Таким образом, Азизунгаре можно перевести как «Азиз-венгр» или «уважаемый из Венгрии».

Словообразовательная модель здесь нестандартная для русских фамилий. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский. Фамилия представляет собой сложное имя-прозвище, которое в тюркской среде могли дать человеку, имевшему отношение к Венгрии — либо по происхождению, либо по месту долгого жительства, либо по торговым связям. Встречаются похожие конструкции у татар и башкир, например, фамилии типа Абдулмадьяров, где «мадьяр» также указывает на венгерский след.

Скорее всего, предки носителя фамилии были выходцами из Поволжья или Приуралья, где среди татарских и башкирских родов фиксируются контакты с венграми ещё со времён средневековья. Венгерские племена в IX–X веках кочевали вблизи Волги, и часть их осталась, смешавшись с местным населением. Позже, в XVI–XVII веках, венгерские пленники или наёмники могли попадать в Казанское ханство, оседая и принимая ислам. Имя Азиз в таком случае становилось личным, а прибавка «унгаре» закреплялась как родовое прозвище.

Фамилия практически не встречается в исторических документах России, что говорит о её крайней редкости и, возможно, локальном бытовании в одной-двух деревнях. В современном русском языке она сохраняет экзотическое звучание и склоняется по правилам заимствованных фамилий: Азизунгаре, Азизунгаре, с Азизунгаре. В татарской среде ударение, вероятно, падает на последний слог, что свойственно тюркским заимствованиям.

С точки зрения словообразования это не фамилия в привычном русском понимании, а застывшее прозвище-описание. В тюркской традиции такие конструкции — имя плюс указание на народ или место — встречаются чаще, чем в славянской. Например, башкирское прозвище «Башкорт» или татарское «Нугай» становились фамилиями без дополнительных суффиксов. Азизунгаре — из того же ряда, только с арабским корнем. Если бы фамилия оформлялась по русскому образцу, она звучала бы как Азизов-Венгерский, но тюркская модель сохранила её в компактном виде. Поэтому искать в ней морфемы вроде «-ов» бессмысленно: перед нами цельное прозвище, которое перешло в фамилию без изменений.