Фамилия Азова образована от личного прозвища и относится к распространенному типу русских фамилий. В её основе лежит либо прозвище, либо географическое название, и обе версии имеют под собой основания.

Скорее всего, фамилия Азова восходит к прозвищу. По одной из версий, оно происходит от тюркского слова «аз» — «незначительный, редкий». Такое прозвище могло указывать на определённые внешние особенности человека, например, на невысокий рост или редко встречающуюся черту характера. Суффикс -ов в фамилии указывает на принадлежность: «Азов» — это сын или потомок человека по прозвищу Аз.

По другой версии, в основе фамилии Азова лежит название города Азов, имеющего богатую историю. Происхождение города весьма древнее; он был построен греками. Предположительно, в конце X века он подпал под власть Владимира I, отдавшего его вместе с Тмутараканью в удел сыну своему Мстиславу. Около 1067 года город был покорён половцами и получил нынешнее своё название — Азов. Перейдя к генуэзцам в XIII веке, город стал перевалочно-складским пунктом для индокитайской торговли. В 1637 году Азов был взят казаками, но в состав Российской империи вошёл только в 1739 году во время русско-турецкой войны 1735—1739 годов, когда крепость была взята войсками генерала Ласси и по Белградскому миру уже навсегда осталась за Россией. Вполне вероятно, что предок Азовых родился в этом городе или жил в его окрестностях, а фамилия закрепилась за ним как указание на место жительства.

Таким образом, фамилия Азова могла появиться двумя разными путями: как прозвище, данное по внешности или характеру, или как «географическая» фамилия, связанная с известным южным городом. Оба варианта правдоподобны, и определить, какой из них верен для конкретной семьи, можно только по дополнительным генеалогическим данным.