Фамилия Азважинский — редкая и неочевидная, её основа не лежит на поверхности. Здесь как раз тот случай, когда разбор суффикса подсказывает направление поиска, а география даёт ответ.

Типичный суффикс -ск- указывает на польское или украинское происхождение. Фамилии на -ский чаще всего образовывали от названий сёл, местечек или рек. Основа «Азваж-» почти наверняка восходит к топониму, который стоит искать на территории современной Беларуси, Украины или восточной Польши. Наиболее вероятный кандидат — деревня Азважино (или Азваж) в бывшей Минской губернии. В польском языке фамилия могла звучать как Azwaziński.

Сам корень «Азваж» — тёмный и, скорее всего, не славянский. В нём слышится балтский или финно-угорский субстрат, что типично для названий на северо-западе России и в Беларуси. Например, в литовском есть слово ãžuolas — «дуб», а в латышском ozols — то же самое. Не исключено, что первичное название места означало «дубовая роща» или «дубрава». Версия с тюркским корнем (от «аз» — мало, «важ» — тяжесть) выглядит натянутой и не подтверждается географией фамилии.

Таким образом, носитель фамилии Азважинский — потомок человека, который происходил из населённого пункта с названием вроде Азваж, Азважино или Азважин. Владельцем такой фамилии мог быть как мелкий шляхтич (в польской традиции), так и крестьянин, которого записали по месту рождения при переписи. Сословная принадлежность здесь не определена однозначно.

Фамилия крайне малочисленна. В современных российских базах она встречается единично, что говорит о её узколокальном распространении в прошлом. Если вы ищете свои корни, стоит начать с поиска в метрических книгах Минской или Гродненской губерний XIX века — именно там, скорее всего, жили первые известные Азважинские.