Фамилия Баашрова — редкая и неочевидная для русского уха. Её основа, суффикс и география указывают на то, что перед нами, скорее всего, не исконно русская, а тюркская или кавказская фамилия, русифицированная при помощи патронимического суффикса -ов.

Разберём корень. В фамилии Баашрова явно выделяется основа «Баашр». В тюркских языках, например, в кумыкском или ногайском, слово «баш» означает «голова», «главный», «вершина». Удвоенная гласная «аа» и звук «ш» могут быть диалектными или историческими особенностями передачи имени. Вполне вероятно, что в основе лежит прозвище или личное имя Баашр (вариант Башар), которое могло означать «ведущий», «главарь», «первенец» или относиться к человеку с большой или заметной головой. В арабском языке, оказавшем влияние на тюркские имена, есть имя Башар (بشار) — «весть», «радость», но в данном варианте с удвоенной «а» это менее вероятно.

Суффикс -ов указывает на то, что фамилия была оформлена по русской модели «чей?» — то есть «сын Баашра» или «из рода Баашра». Это типично для народов Северного Кавказа, Поволжья и Средней Азии, где при интеграции в российскую имперскую систему местные имена и прозвища записывались с русскими окончаниями. Фамилия могла возникнуть в среде кумыков, балкарцев, карачаевцев или татар.

Географически фамилия Баашрова с большой вероятностью привязана к Дагестану, Чечне или Ставропольскому краю. Встречаемость её крайне низкая, что говорит о локальном происхождении — возможно, от конкретного родоначальника в одном ауле или селе. Предки носителя фамилии могли быть скотоводами, воинами или сельскими старостами, если прозвище было связано со значением «главный». В любом случае, это не дворянская и не крестьянская фамилия центральной России — её история лежит в зоне межкультурного контакта степных и горских народов с русским административным учётом.