Фамилия Бадычанская — редкий случай, когда географическое происхождение почти не вызывает сомнений, а вот корень слова остаётся загадкой. Типичный «географический» суффикс -ск- указывает на то, что фамилия образована от названия места: скорее всего, от топонима Бадычаны, Бадычан или Бадычи. Такие названия встречаются в западнорусских и украинских землях, особенно в бывших польских и литовских владениях, где было много сел с окончанием -аны, -яны (сравните с Бережаны, Дубляны). Женская форма Бадычанская говорит о том, что носительница — либо дочь, либо жена человека по фамилии Бадычанский.

Сам корень «Бадыч-» не имеет прямого значения в современном русском или украинском языке. Вероятнее всего, он восходит к прозвищу или личному имени. В польском языке есть слово «badyl» — стебель, сухая трава, а «badylarz» могло означать огородника или человека, торгующего зеленью. Не исключено, что Бадыча — это форма от имени Бадыло, которое давали высокому, худому человеку. Есть и версия, что основа связана с тюркскими корнями: «батыр» (богатырь, смельчак) могло через диалекты превратиться в «бадыч», но это менее вероятно, так как фамилия закрепилась в западнославянском ареале.

Социальный контекст типичен для фамилий на -ский: в XVII–XIX веках их чаще носили дворяне, шляхта или духовенство, реже — крестьяне, получившие фамилию по названию своего поместья или села. Если предки Бадычанских были мелкими землевладельцами, их фамилия могла указывать на родовое гнездо, которое уже исчезло с карт. Написание с окончанием -ая вместо -ий — не ошибка, а грамматическая форма женского рода, которая сохранилась в документах, если фамилия передавалась по женской линии или носительница вышла замуж и оставила девичью фамилию.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Бадыгин, Бадыль, Бадыч) показывает, что Бадычанская стоит особняком: суффикс -чан- встречается редко и обычно указывает на жителя местности («бадычане» — люди из Бадыч). Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги Подольской, Волынской или Гродненской губерний — там вероятность найти село с похожим названием выше всего.