Фамилия Баговеева — женская форма от Баговеев, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ев указывает на притяжательную модель «чей?»: такую фамилию давали по отцу или главе семьи. Основа здесь — Баговей, редкое личное имя или прозвище. В русской ономастике суффикс -ей — один из способов образования уменьшительных или обиходных форм от имен (ср. Тимофей → Тимошка, но в данном случае это не церковное имя, а скорее народное).

Корень «баг-» отсылает к древнерусскому слову «багр» (красный, багровый) или к глаголу «багрить» (красить в красный, также — ловить рыбу багром). Первая версия: прозвище Баговей могли дать человеку с румяным, красным лицом или рыжими волосами — по цвету. Вторая версия, более прозаичная: багрить рыбу (осетровых) было распространённым промыслом на Волге, Дону и Урале. Прозвище Баговей мог получить рыбак, промышлявший багреньем, или тот, кто ходил с багром на медведя. Третья, менее вероятная версия — от тюркских корней: «баг» (сад, виноградник) или «бек» (господин), но суффикс -ей в таких заимствованиях встречается редко, а фамилия звучит по-русски.

Географически фамилия Баговеева редкая, встречается в основном в Поволжье и на юге России — в Астраханской, Волгоградской областях, а также в казачьих станицах. Это косвенно подтверждает версию о рыбном промысле: багренье было сезонным занятием уральских и донских казаков. Сословно носители фамилии, скорее всего, происходили из крестьян или казаков, а не из дворян — в родословных книгах она не фиксируется.

Написание через двойное «е» — Баговеева — не ошибка, а стандартная грамматическая форма для женской фамилии на -ев. В мужском варианте ударение падает на последний слог: Багове́ев. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах и ревизских сказках по Нижней Волге — именно там корень «багр» мог дать жизнь необычному прозвищу.