Фамилия Балаенков — хороший пример того, как одна буква в суффиксе может рассказать о происхождении больше, чем основа. Она образована по модели, редкой для центральной России, но типичной для южных и западных регионов: суффикс -енков вместо привычного -ов. Если бы предка звали Балай, его потомки в большинстве областей стали бы Балаевыми или Балайкиными. Но суффикс -енков указывает на территорию, где фамилии на -енко (украинский вариант) адаптировали под русскую грамматику, добавив конечное -в. Такое часто происходило на границе Великороссии и Малороссии — в бывших Слобожанщине, Курской, Воронежской, Белгородской губерниях. То есть Балаенков, скорее всего, потомок выходца с Украины, чью фамилию «обрусели» при переписи или переселении.

Основа фамилии — прозвище Балай. У него два основных объяснения. Первое: от глагола «балакать» — говорить, болтать, пустословить. Балаем могли назвать говорливого человека, любителя поболтать или того, кто говорил невпопад. В южнорусских говорах «балай» означало именно «болтун», «пустомеля». Второе: от тюркского корня «бала» — дитя, ребенок. В этом случае Балай — уменьшительная форма тюркского имени, которое давали младшему сыну или просто ребенку. Такие имена-прозвища были распространены в среде служилых татар и казаков, оседавших на южных рубежах. Обе версии не исключают друг друга: прозвище могло быть и звукоподражательным, и заимствованным.

Словообразовательно фамилия проста: прозвище Балай + патронимический суффикс -енков, который заменяет конструкцию «чей сын?» — «Балаенков» буквально «сын Балая». Под ударением фамилия стоит на последнем слоге — Балаенкóв, хотя в бытовой речи встречаются варианты с ударением на второй слог.

Сословно фамилия не элитарная. Такие модели на -енков редко встречались у дворянства, чаще — у крестьян, однодворцев и казаков. Если ваши предки Балаенковы, ищите корни в документах Курской, Воронежской или Харьковской губерний. Фамилия не слишком частотная, но и не уникальная — она встречается в современных реестрах, особенно на юге России.