Фамилия Балвшова — редкий случай, когда написание бросает вызов даже опытному этимологу. Первое, что бросается в глаза: сочетание «лвш» нехарактерно для исконно русских фамилий. Скорее всего, перед нами пример искажения записи при переписи, паспортизации или в результате диалектного произношения. Самый вероятный источник — фамилия Балышева (от прозвища Балы́ш, которое восходит к тюркскому «балык» — рыба; такое прозвище мог получить рыбак или торговец рыбой). В некоторых говорах звук «ы» мог редуцироваться, а «ш» — смягчаться, что на письме дало странное «лвш».

Второй вариант, менее вероятный, но возможный — фамилия Болванова (от слова «болван» — идол, чурбан, а в переносном смысле — нерасторопный человек). Если в основе лежало прозвище Болван, то суффикс -ов/-ева указывает на принадлежность («чей?» — сын Болвана). Однако для перехода «болв» в «балв» нужны веские диалектные основания, которые встречаются реже, чем путаница с «ы» и «л».

Обратите внимание на суффикс -ов-: он типичен для центральных и северных регионов России, особенно для крестьянских и мещанских фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках. Это говорит о том, что предок носителя фамилии был человеком незнатного происхождения — крестьянином или посадским. Если ваша фамилия пишется именно так — Балвшова, — с высокой вероятностью в вашем роду была ошибка писаря, который записал фамилию на слух, не разобрав местного говора. Попробуйте поискать в архивах вариант «Балышева»: возможно, это и есть первоначальная форма.