Фамилия Бапшкирова — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при записи в документах. В русском языке нет устоявшейся основы «бапшк-», и словообразовательная модель с суффиксом -ов- подсказывает, что исходное прозвище или имя звучало иначе. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая из-за диалектного произношения или ошибки писаря: буква «п» могла появиться вместо «б» (оглушение), а «ш» — вместо «ж» или «с». Наиболее правдоподобная версия — основа «Бапшкир-» восходит к этнониму «башкир». В южнорусских и некоторых уральских говорах слово «башкир» могли произносить как «бапшкир», с упрощением группы согласных. Тогда фамилия Бапшкиров (а женская форма — Бапшкирова) означала «сын башкира» или «потомок башкира». Такие фамилии по национальности давали не только самим башкирам, но и русским, жившим по соседству и получившим прозвище за связь с этим народом — например, за женитьбу, торговлю или службу в башкирских землях.

Менее вероятно, но стоит упомянуть, что основа могла быть связана с диалектным глаголом «бапшить» (в некоторых говорах — «говорить невнятно, бормотать»), но эта версия слабая: глагол редкий, и суффикс -к- в таком прозвище нехарактерен. Географически фамилия встречается крайне редко, преимущественно в Поволжье и на Урале — в регионах, где исторически было смешанное русско-башкирское население. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах XIX века варианты написания «Башкиров» или «Башкирова» — велика вероятность, что первоначальная форма была именно такой, а «п» и лишнее «ш» — следствие местного говора или почерка писаря.