Фамилия Бародкина — женская форма фамилии Бародкин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Бародка. Чтобы понять корень, не нужно быть лингвистом: основа «барод-» сразу отсылает к диалектному или старинному варианту слова «борода». В русских говорах нередко встречается аканье: вместо «о» произносили и писали «а», особенно в южных и центральных областях. Так «бородка» превращалась в «бародку» — уменьшительно-ласкательное прозвище человека с бородой, причем не обязательно пожилого: так могли назвать и молодого парня, который рано обзавелся растительностью на лице.

Модель образования фамилии простая и типичная для русского быта: прозвище (Бародка) плюс притяжательный суффикс «-ин», который указывал на принадлежность («чей?» — «Бародкин сын, Бародкина дочь»). Суффикс «-ин» в этой фамилии не редок, но обращает на себя внимание то, что основа заканчивается на «-ка»: такие фамилии (Бородкин, Бародкин) часто путают с отчествами от канонических имен, хотя здесь явное прозвище. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные случаи разбираются как типичные для «прозвищных» фамилий, где суффикс «-ин» присоединяется к основе на согласный.

По географии фамилия Бародкина — редкая. Она не встречается массово в метрических книгах центральных губерний, но фиксируется в южнорусских регионах и на Урале, где аканье было сильнее. Встречается и вариант Бородкина — с «о» в корне, который считается литературным и более распространенным. Если ваши предки писались именно через «а», это может указывать на конкретную местность: например, на Курщину, Орловщину или на потомков переселенцев, которые сохранили диалектное произношение в документах.

В социальном плане носители фамилии Бародкин (и Бародкина) в XIX веке относились чаще всего к крестьянам или мещанам. Прозвище «Бородка» не несло негативного оттенка — скорее, оно было бытовым, описательным, как «Кудрявцев» или «Усачев». Никаких дворянских корней у этой фамилии нет, и попытки связать её с каким-либо знатным родом — натяжка. Фамилия приземленная, но именно в этом её ценность: она прямо говорит о внешности предка.