Фамилия Барыбкина — женская форма фамилии Барыбкин, а та, скорее всего, образована от прозвища или нецерковного имени Барыбка. Разберём, что это могло значить.

Самая вероятная версия отсылает к глаголу «барыбать» — в некоторых русских говорах (особенно в южных и западных) это означало «лепетать, говорить невнятно», «болтать пустое» или даже «кричать, шуметь». Тогда Барыбка — человек неразговорчивый, бормочущий, или, наоборот, крикливый и надоедливый. Суффикс -к- в основе прозвища типичен для экспрессивных, бытовых имён (сравните: Крикун — Крикунка, Шум — Шумка).

Вторая, менее вероятная гипотеза связывает фамилию с диалектным «барыба» — так в некоторых местах называли небольшую рыбу, пескаря или бычка. Если так, то прозвище могло закрепиться за рыбаком или за человеком невысокого роста, юркого, как эта рыбка. Но эта версия слабее: слово «барыба» редкое, а глагольная основа «барыбать» встречается чаще и даёт больше производных.

Третья возможность — искажение от «барыня» или «барышня» через «барынька», но это маловероятно: фамилии на -ин от женских прозвищ с суффиксом -к- (Барынька → Барынькин) встречаются, но форма Барыбкин предполагает замену «нь» на «б», что нехарактерно для живой речи.

Фамилия Барыбкин — довольно редкая. Встречается преимущественно в центральных областях России, особенно в Тверской и Смоленской губерниях, где диалектная лексика с корнем «барыб-» фиксируется лучше всего. Как и многие фамилии на -ин, она восходит к прозвищу на -а/-я, что характерно для простонародной среды: крестьян, ремесленников, мелких служилых людей.

Если ваши предки носили фамилию Барыбкины, то, скорее всего, они происходили из среды, где прозвища давали по поведению или манере речи. Никакого отношения к «барыням» и дворянству тут нет — корень чисто народный, разговорный.