Фамилия Башелутскова — одна из тех, что приковывает внимание своей редкостью, но при ближайшем рассмотрении оказывается вполне прозрачной по происхождению. Её основа — прозвище или некалендарное имя Башелут, которое, скорее всего, восходит к двум корням: глаголу «башить» (бить, колотить, а в диалектах — громко кричать, шуметь) и слову «лут» или «луто» (лыко, лыковая кора, или, в некоторых говорах, прут, розга). Таким образом, Башелутом могли прозвать человека, который занимался заготовкой лыка — бил, отдирал лыко для плетения лаптей или коробов. Вторая, более бытовая версия: так могли назвать шумного, драчливого парня, который «башит» (бьёт) всё подряд, вплоть до лозы или прутьев («лута»). В любом случае, перед нами прозвище по занятию или по характеру, типичное для русской деревни.

Суффикс -ск- в окончании (Башелутсков) указывает на то, что фамилия сформировалась не через простое притяжательное значение («чей?»), а через топонимическую или сословную модель. Чаще всего фамилии на -ский/-ской получали дворяне по названию своих владений, но в народной среде этот суффикс мог прикрепляться к прозвищу для придания фамилии «благородного» звучания, либо указывать на принадлежность к определённой местности — например, к селу или хутору Башелуты (если такой существовал). Впрочем, не исключён и более простой путь: на Русском Севере и в Сибири фамилии на -ский нередко давали крестьянам, переселенцам, по прозвищу отца, и суффикс здесь просто словообразовательный, без сословного подтекста.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России. В документах XIX — начала XX века носители фамилии Башелутсков (и её женской формы Башелутскова) встречаются в Вятской, Пермской и Костромской губерниях — как раз в тех краях, где было развито лыковое ремесло и где диалектное слово «башить» сохранялось в активном употреблении. В современной России фамилия остаётся редкой, что делает её ценным маркером для генеалогического поиска: концентрация в определённых областях позволяет довольно точно локализовать родовое гнездо.

С точки зрения словообразования, фамилия прошла путь: прозвище Башелут → отчество Башелутков (сын Башелута) → фамилия Башелутсков с наращением -ск- (возможно, под влиянием местных говоров или канцелярской записи). Вариант без суффикса — Башелутов — встречается реже, но тоже возможен. Окончание -а в женской форме — стандартное русское склонение, не несущее дополнительной смысловой нагрузки.

Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на архивные метрические книги Вятской губернии (особенно Слободской и Котельнический уезды), а также на ревизские сказки Пермской губернии — именно там с наибольшей вероятностью обнаружится первое упоминание предка с этим прозвищем. Фамилия не имеет отношения ни к каким иностранным языкам, это чисто русское, народное образование, за которым стоит либо мастеровой человек, либо тот, кого в округе помнили как задиру и крикуна.