Фамилия Башки встречается редко, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от массовых фамилий на -ов и -ин, она имеет окончание -и, что сразу указывает на две возможные модели образования: либо это фамилия в форме множественного числа (родительного или именительного падежа), типичная для северных и центральных областей России, либо это украинский или белорусский вариант, где суффикс -к- часто даёт форму на -ко, но в русской записи мог редуцироваться до -ки.

Самая прямая версия — от прозвища Башка. В старых русских говорах «башка» означала голову, причём не просто часть тела, а голову умную, бойкую или, наоборот, большую и неуклюжую. Прозвище могли дать сообразительному человеку, задире или тому, кто выделялся внешностью. От этого прозвища образовалась фамилия Башкин (через суффикс принадлежности -ин), но форма Башки — это либо её усечённый вариант (как Смирнов — Смирны), либо фамилия, закрепившаяся в именительном падеже множественного числа: «Чьи будете? — Башки» (то есть люди из рода Башки). Такая модель характерна для фамилий на -их/-ых, но здесь без суффикса -их, что встречается реже, например, в фамилиях Глухи, Косые.

Вторая версия — географическая. Фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта: Башки, Башково, Башковка. Такие топонимы есть в Беларуси (например, деревня Башки в Витебской области) и в западных регионах России. В этом случае носитель фамилии — выходец из тех мест, и окончание -и указывает на «выходец откуда?» (ср. Рязанский — Рязань). Стоит проверить, не записана ли фамилия в метрических книгах как Башко — в украинской среде это распространённая форма от имени или прозвища Башко (уменьшительное от Баш, возможно, тюркского корня, где «баш» — голова, глава).

Третья, менее вероятная версия — от тюркского имени Баш или Башкы (голова, вожак). В татарской и башкирской среде такие имена встречались, но фамилия на -и в этом случае звучала бы как Башев или Башкин, а не Башки. Поэтому эта гипотеза слабая, если только не было записи через дефис или двойной фамилии.

Сословный состав носителей фамилии неоднороден. В XIX веке Башки фиксировались и среди крестьян (например, в Тверской губернии), и среди мещан в западных городах. Дворянских родов с такой фамилией в гербовниках нет. Если ваши предки — из Беларуси или Смоленщины, скорее всего, фамилия топонимическая; если из центральной России — от прозвища. Разобраться можно только по конкретному региону: посмотрите переписи или ревизские сказки — форма записи (Башки или Башко) часто подскажет верный путь.