Фамилия Башвеева — женская форма от Башвеев, а та, в свою очередь, образована от прозвища Башвей. В основе лежат два тюркских корня: «баш» (голова, главный) и «вей» — вероятно, искажённое «бий» (князь, господин) или «бай» (богатый, хозяин). Буквально прозвище могло означать «главный хозяин» или «старшина», что указывает на уважаемого человека, возможно, старосту или выборное лицо в общине.

Фамилия редкая, и её география говорит сама за себя. Основной ареал — юг России, особенно Ставропольский край и Карачаево-Черкесия. Это не случайно: в тех местах веками жили рядом русские, казаки и тюркские народы (ногайцы, кумыки, карачаевцы). Прозвище Башвей могло возникнуть в среде казаков, перенявших тюркские слова для обозначения должностей, или у крещёных татар и ногайцев, перешедших на русскую фамильную модель.

Обратите внимание на суффикс -еев, а не -ев. В фамилиях, образованных от основ на -й, стандартный патронимический суффикс -ев (как в Алексеев) часто даёт на письме -еев. Однако в случае Башвеев мы видим, что основа уже заканчивалась на -ей (Башвей), поэтому двойное «е» — результат стечения: корневое «е» плюс суффикс. На слух это не различимо, но в документах такое написание — маркер именно прозвищного, а не именного происхождения.

Встречается также вариант Башвеева без удвоения (Башвева), но он ошибочный и возникает при упрощении на письме. Правильная форма с двумя «е» зафиксирована в метрических книгах Ставропольской губернии XIX века. Если ваши предки оттуда, то, скорее всего, они были государственными крестьянами или казаками — сословиями, где прозвища держались дольше, чем у дворян.