Фамилия Басоргина — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа, Басорг-, не встречается в современных русских именах или нарицательных словах, поэтому разгадка лежит либо в диалектной лексике, либо в иноязычном влиянии.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»). Басоргина — буквально «дочь или жена Басорги». Мужская форма — Басоргин. Такие фамилии в русской традиции обычно образовывались от прозвищ или нецерковных имён, оканчивающихся на -а/-я.

Самая вероятная версия связывает корень с тюркским или монгольским языками. В тюркских наречиях «бас» означает «голова», а «орук» или «орг» — «сила, мощь». Прозвище Басорга мог получить человек с крупной головой или, в переносном смысле, — главарь, предводитель. Другая тюркская параллель: «басар» — «наступающий, давящий», что опять же указывает на волевой, напористый характер. Учитывая историю Русского государства, где служилые люди нередко перенимали имена от татарских мурз и башкирских родов, фамилия могла закрепиться в среде дворян или однодворцев южных и восточных окраин.

Менее убедительна, но возможна связь с искажённым личным именем Варсонофий (в просторечии Варсога). Отпадение начального «в» и замена «с» на «з» встречается в диалектах, но для фамилии Басоргина такая трансформация маловероятна, так как имя Варсонофий давалось в крестьянской среде нечасто, а его производные обычно выглядели как Варсонофьев или Варсанофьев.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу. В архивных записях XIX века Басоргины встречаются среди государственных крестьян Казанской и Вятской губерний, что косвенно подтверждает версию о тюркском корне: именно в этих регионах веками шло смешение русского и тюркского населения. Никаких известных дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что указывает на её простонародное происхождение.

Итог: скорее всего, ваш предок получил прозвище Басорга — «голова» или «силач» — от тюркоязычных соседей, а фамилия закрепилась в русской среде как обычная «патронимическая» по отцу. Другие версии уступают этой в убедительности из-за отсутствия прямых параллелей в древнерусских именословах.