Фамилия Басоврим — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от большинства русских фамилий, она не заканчивается на -ов, -ин или -ский, что сразу наводит на мысль о нерусском корне или искусственном происхождении. Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища или имени, записанного на слух в иноязычной среде.

Разберём её по частям. Основа «Бас» может восходить к тюркскому слову «бас» — «голова, глава, начальник» (сравните с турецким baş). Вторая часть «оврим» — самая загадочная. Она могла появиться из-за искажения при переписи: например, от имени Оврим (древнееврейское Аврум, Авраам) с добавлением тюркского «бас» — получилось «Бас-Оврим», то есть «главный Оврим» или «Оврим-начальник». Такая смесь тюркского и семитского корней возможна в среде крымчаков, караимов или в еврейско-тюркских общинах, где бытовали двуязычные прозвища.

Другая версия — искусственное происхождение. В XIX — начале XX века при выдаче паспортов или записи в метрические книги чиновники часто коверкали фамилии на слух, особенно если человек говорил с акцентом. «Басоврим» могло возникнуть из более длинной фамилии, например, Бас-Оврумов или Басов-Рим, где «Рим» — не город, а вариант имени Рувим (Reuven). В этом случае фамилия могла означать «сын Баса из рода Рувима» или быть топонимической отсылкой к месту жительства.

Третья, менее вероятная версия — связь с греческим «басилевс» (царь) и славянским «Рим», но это уже область фантазий, не подкреплённая реальными источниками. В ономастических трудах, например у Б. Унбегауна, фамилии с таким окончанием не рассматриваются, что подтверждает их редкость и локальность.

Географически носители фамилии Басоврим встречаются в основном на юге России и в странах ближнего зарубежья — там, где исторически жили смешанные тюрко-славяно-еврейские общины. В любом случае, предок носителя этой фамилии, скорее всего, был человеком с заметным положением (от «бас» — голова) или носил двойное имя, которое со временем слилось в одно слово.