Фамилия Бастонова — женская форма, а мужская, Бастонов, в русской традиции образована с помощью стандартного патронимического суффикса -ов. Это указывает на то, что в основе лежит прозвище или мирское имя предка по мужской линии — Бастон. Вопрос в том, что означало это слово.

Самая прямая и прозрачная версия — связь с французским baston (палка, дубина) или итальянским bastone (трость, посох). В XVIII–XIX веках, в эпоху увлечения всем французским в дворянской и купеческой среде, такие «иностранные» прозвища могли давать за манеру ходить с тростью, за рост («длинный, как палка») или за вспыльчивый нрав (от французского «бить палкой»). Однако фамилия могла возникнуть и в более позднее время, уже после Отечественной войны 1812 года, когда французские слова прочно вошли в русский язык.

Вторая, менее очевидная, но возможная версия уходит корнями в тюркские языки. В татарском и башкирском есть слово «бастан» — давильщик, гнетущий, а также «бастырык» — гнет, пресс. Если предок занимался давкой масла, выделкой кож или работал на маслобойне, его могли прозвать Бастан. Суффикс -ов в таком случае легко русифицировал тюркское прозвище. Эта версия правдоподобна для южных и восточных регионов России, где были сильны тюркские влияния.

Встречается и третья гипотеза: от топонима Бастон — название города в Бельгии и нескольких населенных пунктов в Европе. Но для крестьянской России это маловероятно: фамилии от названий европейских городов обычно носили обрусевшие выходцы из этих мест, а их было немного. Скорее всего, Бастонов — это фамилия, возникшая из прозвища, и её носители могли быть людьми разного происхождения: от дворян, перенявших моду на французский язык, до ремесленников-маслобойщиков в Поволжье.