Фамилия Басяйская — это классический пример «географической» фамилии, образованной по полной модели с суффиксом -ск-. Она указывает на то, что предок носителя происходил из населённого пункта с названием Басяй, Басяи или Басяйка. В русской ономастике фамилии на -ский/-цкий традиционно давались дворянам по названию их вотчин, но в народной среде, особенно в западных и южных регионах, так могли называть любого человека, переселившегося из конкретного места. Поэтому Басяйская — не обязательно признак аристократического происхождения; скорее, это указание на «корни»: «та, что из Басяя».

Сам топоним Басяй, скорее всего, имеет финно-угорское или балтийское происхождение, что типично для гидронимов и названий селений на северо-западе и в центре России. Корень «бас» в финно-угорских языках может означать «глухой», «тихий» (ср. коми «бась» — тишина), а в балтийских — связываться с понятием «болото», «топь» (лит. brasta — брод). Таким образом, название поселения могло описывать его расположение: глухое место, у тихой речки или на болотистой низине. Встречаются и версии от тюркского «бас» (дави, наступай), но для центральной России они менее вероятны.

Фамилия редкая и имеет ярко выраженный «женский» вариант написания (Басяйская, а не Басяйский). В русской традиции такие формы закреплялись за женщинами, а мужчины носили вариант Басяйский. Если вы встретили именно женскую форму, это может указывать на то, что фамилия передалась по женской линии или что носительница — женщина. В исторических документах фамилия почти не встречается, что говорит о её локальном бытовании: скорее всего, предки жили в одном-двух сёлах, а фамилия осталась в узком кругу потомков.

Словообразовательно фамилия прозрачна: основа Басяй (название места) + суффикс -ск- (принадлежность) + окончание -ая (женский род). Ударение, вероятно, падает на второй слог: Бася́йская. В разговорной речи возможны варианты с ударением на первый слог, но исторически верным считается ударение на суффикс, как и в большинстве фамилий на -ский. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на карты Псковской, Тверской или Новгородской областей — там чаще всего встречаются топонимы с таким звучанием.