Фамилия Батсаши — редкая и нестандартная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не связано с исконно русскими корнями: в ней нет ни характерных славянских суффиксов (-ов, -ин, -ский), ни привычной модели образования от имени или ремесла. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая из языков Кавказа или, что вероятнее, из венгерского языка.

Если разбирать её по элементам, основа «Батса» может восходить к венгерскому слову «batsa» (или «bács») — в диалектах так называли старшего брата, дядю или уважаемого человека. Суффикс «-ши» в венгерских фамилиях часто указывает на происхождение из определённого места: например, «Батсаши» могло означать «из Батсы» или «из рода Батса». В Венгрии существует топоним Bátaszék, и фамилия могла образоваться от названия местности с усечением.

Вторая версия — кавказская. В осетинском или грузинском языках встречаются основы, близкие по звучанию, где «бац» означает «орёл» или «сильный», а окончание «-ши» может быть грузинским суффиксальным элементом. Однако для окончательного вывода не хватает данных: фамилия слишком редкая, чтобы уверенно привязать её к конкретному региону.

Носители фамилии Батсаши сегодня встречаются в России единично, чаще всего в Краснодарском крае и Москве — что косвенно подтверждает версию о миграции с юга или из Закарпатья. В дореволюционных метрических книгах эта фамилия почти не фиксируется, что говорит о её позднем появлении в русском контексте или о сильном искажении исходного написания при записи. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в венгерско-русинской среде XIX века или среди переселенцев с Кавказа.