Фамилия Ббровский — случай, где удвоенная «б» в начале слова почти наверняка результат опечатки или искажения при переписи. В русских фамилиях такой сдвоенный корень нехарактерен. Скорее всего, правильное написание — Боровский, реже Бобровский, а двойная буква возникла из-за невнимательности писаря или при оцифровке документов. Поэтому разбирать её логичнее как Боровский.

Фамилия Боровский образована от названия населённого пункта с корнем «бор» — сосновый лес. В Польше, Беларуси и западных областях России множество сёл и местечек с названием Боров, Боровое, Боровка. Суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение: так в XVI–XVII веках оформляли фамилии владельцев поместий или выходцев из этих мест. В Речи Посполитой Боровские — типичная шляхетская фамилия, герба Наленч или Ястржембец. Носители могли быть мелкими землевладельцами или служилой шляхтой.

Если же фамилия происходит от Бобровский (через упрощение «бб»), то основа — «бобр». Прозвище Бобр давали либо опытному охотнику на бобров, либо человеку с густыми тёмными волосами или неторопливым, хозяйственным нравом. В этом случае суффикс -ский тоже говорит о географической привязке: село Боброво или Бобровка дало фамилию переселенцам. В России фамилия Бобровский встречается реже Боровского, но тоже известна.

С географической точки зрения, Боровские (и Бобровские) рассеяны по всей Восточной Европе, но ядро — в западных регионах: Смоленщина, Брянщина, Беларусь, Украина. В XIX веке фамилия встречалась среди мещан и духовенства, не только дворян. Унбегаун в своём словаре относит Боровского к типичным «топографическим» фамилиям на -ский, которых много у поляков и западнорусских.

Единственная деталь, которую стоит запомнить: если вы встретили написание «Ббровский» в старом документе, проверьте оригинал — скорее всего, там «Боровский». А если фамилия действительно передаётся с двумя «б» из поколения в поколение, это редчайший случай, когда описка закрепилась как норма.