Фамилия Бечвая звучит для русского уха непривычно, и это первый ключ к её разгадке. Она явно нерусская по происхождению, и её корни ведут на Кавказ, скорее всего, в Грузию. Характерное окончание на -ая — это не русский суффикс прилагательных, а грузинская фамильная форма, которая часто встречается в Мегрелии и Гурии. В грузинском языке такие фамилии на -ая (-иа) или -ва указывают на принадлежность к роду, месту или какому-то качеству.

Основа «Бечв» предположительно восходит к мегрельскому или грузинскому слову, связанному с ремеслом или прозвищем. Самая вероятная версия — связь со словом «бечви», что в некоторых диалектах означает «ткач» или «тот, кто работает с нитью». Если это так, то предок носителя фамилии был ремесленником, занимавшимся ткачеством. Альтернативная, менее распространённая гипотеза выводит основу от личного имени Беча, которое могло быть сокращённой формой от Бессарион или другого грузинского имени.

В отличие от русских фамилий, где суффикс -ов/-ев указывает на отчество («чей сын?»), грузинская модель Бечвая отвечает на вопрос «откуда?» или «какой?». То есть это не «сын ткача», а скорее «человек из рода ткачей» или «тот, кто имеет отношение к ткачеству». Фамилия закрепилась в форме, характерной для западной Грузии, и могла попасть в русский язык через документы или переселение. Географически она встречается не только на Кавказе, но и в среде грузинской диаспоры, а в России — в местах исторических миграций, например, в Краснодарском крае.

Словообразовательная модель здесь проста: корень «бечв» плюс типовой грузинский фамильный показатель -ая. Никаких русских суффиксов вроде -ов или -ин в ней нет, что сразу отличает её от большинства фамилий в русском ономастиконе. Споров о происхождении мало: мегрельская версия с ремеслом — самая убедительная, потому что она опирается на реальную лексику и типичную для региона модель прозвищ по занятию.