Фамилия Бепалов — редкий случай, когда основа не бросается в глаза даже носителю русского языка. Первое, что приходит на ум: связь с приставкой «без-» или «бес-». Действительно, если предположить корень «бес» (чёрт) или «без» (отсутствие чего-то), то фамилия могла бы значить «без пала» или «бес палый». Но это ложный след: ни в одном говоре не зафиксировано прозвища «Бепал» или «Беспал», которое бы объясняло такую форму.

На деле фамилия Бепалов — это, скорее всего, искажённое написание более распространённой фамилии Беспалов. Сравните: «Беспалов» (от прозвища «Беспалый» — человек без пальца) при быстром произношении или в документах XIX века легко могло превратиться в «Бепалов». Аналогичные примеры есть: фамилия «Безруков» иногда писалась как «Безуков», «Бессонов» — как «Бесанов». Акустически глухой звук «с» перед глухим «п» почти не слышен, а писарь мог записать на слух, опустив букву. Таким образом, Бепалов — это фонетический вариант, возникший из-за ассимиляции согласных.

Если версия с Беспаловым верна, то предок получил прозвище Беспалый из-за отсутствия пальца на руке или ноге. Такие прозвища были распространены в крестьянской среде: они не несли оскорбления, а служили приметой для идентификации человека в общине. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище на -ый → фамилия на -ов (Беспалый → Беспалов). Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Беспалого».

Встречается Бепалов и в форме Бепалов, и в форме Бепалов (с ударением на второй слог). Географически фамилия тяготеет к южным и центральным регионам России, где фамилии на -ов вообще доминируют, но из-за редкости точное гнездо выделить трудно. В дореволюционных метрических книгах можно найти записи, где один и тот же человек записан то как «Беспалов», то как «Бепалов» — это лишний раз подтверждает, что перед нами не самостоятельная фамилия, а графический дублет.

Версия о происхождении от тюркского корня (например, от «беп» — «господин» или «беп» — «пять») менее правдоподобна: в тюркских языках нет прозвищ, которые бы дали форму «Бепал» с русским фамильным суффиксом. Так что, скорее всего, Бепалов — это «потерянная буква» в фамилии Беспалов, и ваши предки были людьми с заметной физической особенностью, которая и стала их родовым именем.