Фамилия Берйзкина — наглядный пример того, как одна буква в корне может запутать след. Правильное написание, которое встречается в документах и переписях, — Берёзкина, через «ё». Именно это написание и ведёт к прозрачной основе: прозвище или именование по месту жительства «Берёзка» или «Берёзкин» — то есть тот, кто живёт у берёзовой рощи, либо человек с фамильным прозвищем, данным по характерной черте или месту. Но вариант «Берйзкина» — это либо опечатка, либо поздняя запись, когда букву «ё» заменили на «й» из-за невнятного произношения или ошибки писаря. В русской ономастике такое встречается: твёрдый знак, мягкий знак, «ё» и «й» путали при переписи, особенно в XIX веке, когда грамотность была низкой, а фамилии записывали на слух.

Если отбросить орфографическую случайность, фамилия Берёзкина образована по стандартной модели: основа «берёзк-» (от «берёза» или уменьшительного «берёзка») плюс суффикс -ин, указывающий на принадлежность. В русских фамилиях суффикс -ин присоединялся к основам на -а/-я: Берёзка → Берёзкин. Женская форма Берёзкина — это либо вариант фамилии для женщины (если носительница — женщина), либо указание на жену или дочь Берёзкина в старых документах. Слово «берёзка» могло быть не только топографическим прозвищем (живущий у берёз), но и личным прозвищем: так могли назвать стройную, светловолосую девушку или человека с лёгким характером. В некоторых говорах «берёзка» — это ещё и растение, но вряд ли прозвище давали по траве.

Географически фамилия Берёзкина (и её мужской вариант Берёзкин) распространена по всей центральной России, но особенно часто встречается в регионах с берёзовыми лесами — в Вологодской, Костромской, Ярославской, Тверской областях. Там же фиксируются и топонимы Берёзкино — множество деревень и хуторов, от которых крестьяне могли получить фамилию при переписи. Сословно носители фамилии — в основном бывшие крестьяне, реже мещане. Дворянских родов с такой фамилией нет: слишком «простая» основа, без приставок и княжеских корней.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Берёзов, Берёзкин, Берёзко — показывает, что суффикс -ин в Берёзкине указывает на более конкретную привязку: не просто «берёзовый», а «сын или человек из семьи Берёзки». Это типично для северных и центральных русских говоров, где фамилии на -ин образовывались от имён и прозвищ на -а. Если ваш предок носил фамилию Берйзкина, скорее всего, в метриках или ревизских сказках он записан как Берёзкин, а ошибка в написании — дело рук писаря, не разобравшего «ё». Проверить это можно по архивным документам до 1917 года: в них «ё» часто писали как «е» или «io», но не как «й».