Фамилия Бешекельме — редчайший случай в русском ономастиконе. Она не вписывается в привычные модели с суффиксами -ов, -ин или -ский, а её основа звучит как целая фраза. Скорее всего, перед нами не русская, а тюркская фамилия, причём искусственного или прозвищного происхождения.

Разбираем слово по частям. «Беш» с тюркских языков (татарского, башкирского, казахского) — «пять». «Кельме» — форма глагола со значением «приходить» или «приезжать» (ср. тат. «килү» — приходить, «килмә» — не приходи). Вместе «беш кельме» может означать «пять не пришло» или «пятеро не пришли». Это похоже на прозвище, которое дали человеку в шутку или по случаю: например, он ждал пятерых гостей, а никто не явился, или он сам был пятым, кто опоздал на сбор. В тюркской среде такие «говорящие» однословные прозвища иногда закреплялись за родом.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: искажённое «беш келме» как «пятикратный приход» или «пять раз пришёл» — тогда это могло быть указанием на частое посещение какого-то места. Однако грамматически отрицательная форма («не пришёл») встречается в подобных конструкциях чаще: ср. фамилии типа «Бельмесов» (от «бильмес» — не знающий).

Географически фамилия Бешекельме должна быть привязана к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, Западная Сибирь или Казахстан. В русских документах такие фамилии фиксировались редко, обычно у крещёных татар или башкир, переходивших в православие, — им могли записать прозвище как фамилию без изменений.

Сословно носители почти наверняка были крестьянами или мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено — слишком прозрачная и бытовая основа. В дореволюционных переписях она могла встречаться единично, а сегодня её редкость делает носителя практически уникальным. Если вы носите фамилию Бешекельме — велика вероятность, что ваши предки жили в Поволжье или Приуралье и говорили на одном из тюркских наречий.