Фамилия Бешельме — редкий случай, когда основа слова почти наверняка не русская и не славянская, а тюркская. В русском языке нет корня «бешельм-», и фамилия не складывается по привычной модели от имени или профессии. Скорее всего, перед нами русифицированная форма тюркского прозвища или имени.

Разбираем слово по частям. В тюркских языках «беш» означает «пять». Вторая часть — «эльме» или «ельме» — может восходить к глаголу со значением «не брать», «не хватать» или к слову «елме» (труд, работа). Одна из версий: «бешельме» — человек, которому «пять раз не досталось» или «пяти не хватает». Прозвище могли дать младшему сыну, который не получил доли наследства, или человеку, у которого постоянно чего-то не хватало. Другая версия: «беш» + «эл» (народ, племя) — «пять родов» или «относящийся к пяти племенам». Такое прозвище могло указывать на принадлежность к союзу пяти родов, что встречается у башкир, татар, казахов.

Фамилия не имеет суффикса -ов, -ев или -ин, что для русских фамилий нетипично. Обычно тюркские основы обрастали русскими окончаниями: Бек → Беков, Батыр → Батырев. Бешельме сохранило чистую основу. Это говорит о поздней фиксации фамилии — в XIX — начале XX века, когда переписчики записывали прозвище почти без изменений, или о том, что фамилия закрепилась в среде, где русский суффикс не был обязателен (например, у крещёных татар, башкир, ногайцев).

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу. Встречается среди татар, башкир, а также в русских сёлах, граничащих с тюркскими регионами. В дореволюционных метрических книгах Бешельме изредка попадаются в Оренбургской и Уфимской губерниях. По сословной принадлежности — чаще государственные крестьяне или мещане, реже казаки.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что «пять» в тюркских фамилиях встречается: Бешкемпет, Бешбаев, Бешкуров. Но «Бешельме» — уникальная форма с глагольным оттенком, что делает её скорее прозвищной, чем патронимической. Это не «сын Беша», а «тот, кого прозвали Бешельме».

Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из тюркоязычной среды, возможно, был крещёным татарином или башкиром, принявшим православие. Прозвище могло быть насмешливым или указывать на особенности судьбы — например, на то, что он остался без отцовского надела, будучи пятым сыном.