Фамилия Бетту — редкий случай в русском ономастиконе. Она не укладывается в привычные модели на -ов, -ин или -ский, и это сразу подсказывает: перед нами не исконно русская фамилия, а относительно позднее заимствование, адаптированное к русской письменности. Скорее всего, её принесли в Россию переселенцы, и корни ведут на юг Европы или Кавказ.

Наиболее вероятная версия — итальянское происхождение. В итальянском языке betulla — «берёза». Фамилия Бетту могла возникнуть как прозвище человека, жившего у берёзовой рощи, или как указание на место (топонимы Bettola, Bettino). Окончание на -у для итальянских фамилий типично: Бетту, Катту, Матту — это часто усечённые формы от более длинных фамилий вроде Беттуччи или Беттини. В России такие фамилии встречаются среди потомков итальянских архитекторов, художников и мастеров, работавших в Петербурге и Москве в XVIII–XIX веках.

Вторая, менее распространённая версия — кавказская. В адыгейском и абхазском языках есть основа «бет» (сильный, могучий). Фамилии с таким корнем встречаются у черкесов и абазин. Но в этом случае написание обычно иное: Бетов, Бетуков. Вариант Бетту с двойной -т и конечным -у больше тяготеет к итальянской модели, поэтому первая версия выглядит убедительнее.

В русском контексте фамилия Бетту не склоняется как типичная русская: «у Бетту», «к Бетту». Это тоже указывает на её иноязычное происхождение. Носителей в России немного, и сосредоточены они в основном в крупных городах — Москве, Санкт-Петербурге, Краснодаре. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах католических приходов или среди ремесленников и художников, приехавших из Италии в XIX веке.