Фамилия Бевшко звучит необычно для русского уха, и это подсказка: перед нами яркий пример украинской или белорусской модели образования фамилий. Её основа — Бев- — восходит к прозвищу или имени, а суффикс -ко указывает на уменьшительно-ласкательную или принадлежностную форму, типичную для западнорусских земель. В украинской ономастике суффикс -ко (как в Шевченко, Коваленко) со временем закрепился в качестве фамильного, часто без дополнительных родовых окончаний. Таким образом, Бевшко — это «маленький Бев» или «сын Бева».

Самая вероятная версия происхождения корня — от древнего славянского имени или прозвища Бев. Оно могло быть сокращённой формой от полных имён, например, Бевел или Бевост, но ещё вероятнее — от глагола «бевкать» (говорить бессвязно, бормотать) или от диалектного «бев» — глупец, простак. Впрочем, не исключено и более безобидное значение: в некоторых говорах «бев» означало «бык» или «бычок», так что прозвище могло относиться к человеку упрямому или сильному. В любом случае, фамилия образована от личного прозвища, которое давали по характеру, поведению или внешности.

Географически фамилия Бевшко привязана к территории современной Украины, особенно к западным областям — Волыни, Подолью, Галичине. Встречается она и в Беларуси, но реже. В Российской империи носители фамилии чаще всего были крестьянами или мещанами, так как фамилии на -ко в массе своей принадлежали непривилегированным сословиям. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить картину. Например, фамилия Бевз (или Бевзенко) распространена на той же территории и имеет ту же основу, но с другим суффиксом. Бевшко — более редкий вариант, где к корню добавился суффикс -шк-, который в украинских фамилиях иногда выполняет роль усилительного или указывает на определённую диалектную особенность (ср. Дуб — Дубшко). Это делает фамилию не просто «сыном Бева», а, возможно, «внуком» или «маленьким» — в зависимости от контекста.

В современной России и Украине Бевшко — фамилия малочисленная, но устойчивая. Её носители в основном живут в сёлах и небольших городах, что подтверждает её народное, а не книжное происхождение. Если вы встретили Бевшко, перед вами, скорее всего, потомок западноукраинского крестьянина, чьё прозвище когда-то дали за негромкую, но запоминающуюся черту — будь то медлительность, бормотание или упрямство.