Фамилия Безаготий — одна из тех редких русских фамилий, которые не вписываются в привычную схему «отчество от имени или профессии». Её основа — не имя и не прозвище, а целая фраза, свёрнутая в одно слово. Перед нами типичная «семантическая» фамилия, образованная от прозвища, которое, в свою очередь, родилось из устойчивого выражения «без заготия» или «без загота».

Ключ к разгадке — слово «загота» или «заготий». В русских говорах, особенно южных и западных, «загота» означала запас, припас, заготовленное впрок добро. «Без заготия» — человек, который живёт одним днём, не делает запасов, не копит. В крестьянском быту такое прозвище давали либо беспечному хозяину, который к зиме не заготовил дров и сена, либо, наоборот, бедняку, которому просто нечего было запасать. Прозвище могло быть ироничным: если у соседей амбары ломятся, а у этого пусто — вот он и Безаготий.

Словообразовательная модель здесь редкая: приставка «без-» + существительное в родительном падеже, застывшее в форме фамилии. В русской ономастике такие фамилии встречаются, но нечасто (сравните: Безруков, Безбородов — там прилагательное, а здесь наречная конструкция). Суффикс «-ий» в конце — типичное патронимическое окончание, которое превратило прозвище в наследственную фамилию. То есть Безаготий буквально означает «сын того, кто без загота».

Фамилия очень редкая. Её географические корни, скорее всего, лежат в зоне южновеликорусского наречия (Курская, Орловская, Воронежская губернии) или в украинском пограничье, где слово «загота» бытовало активно. В центральных и северных говорах чаще использовали слово «запас», поэтому там прозвище вряд ли возникло.

В отличие от фамилий типа Безобразов или Бессонов, где основа ясна сразу, Безаготий требует лингвистической расшифровки. Спорных версий здесь нет: ни с каким «гостем» или «готить» (варить) слово не связано. Это чисто бытовое прозвище, отражающее хозяйственный уклад семьи, от которой пошёл род.