Фамилия Безчерёмная — редкий случай в русской ономастике, где отрицательная приставка без- стоит прямо в основе, а не перед корнем, как в более привычных Безруков или Беспалов. Её разбор сразу даёт понять: это прозвище, перешедшее в фамилию, причём прозвище не человека, а, скорее всего, женщины.

Словообразовательная модель проста: без- + черём- + суффикс -н- + окончание -ая. Корень — «черём», а не «черёмуха», как может показаться на первый взгляд. В русских говорах «черёмный» означало «смуглый», «тёмно-русый», а иногда и «красный» (от общеславянского *čьrmъ — «червлёный», «багряный»). Прозвище Безчерёмная, таким образом, могла получить женщина или девушка, лишённая этой самой «черёмы» — то есть очень светлая, бледная, с белыми волосами. В крестьянской среде, где тёмный цвет лица и волос был нормой из-за работы под солнцем, такая внешность бросалась в глаза и давала повод для меткого прозвища.

Форма на -ая — типичное окончание полного прилагательного в женском роде, но в русской фамильной традиции такие фамилии часто были «застывшими» и передавались по мужской линии в неизменном виде: мужчина мог быть Безчерёмный, а его жена и дети — Безчерёмные. Однако встречается и вариант без перехода в мужской род, когда фамилия остаётся в женской форме для всех членов семьи, что указывает на её позднее оформление или на то, что прозвище дали именно женщине — вдове или одинокой хозяйке дома.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским говорам, где слово «черёмный» было в ходу. Встречается она в основном в Воронежской, Ростовской областях и на Кубани. Интересно, что однокоренные фамилии Черёмный, Черёмнов, Черёмухин распространены гораздо шире, а вот вариант с отрицанием — редкость. Это говорит о том, что прозвище было не случайным, а устойчивым и ярким: белая, как лунь, женщина в тёмной крестьянской среде.

Никаких сведений о дворянском происхождении или принадлежности к известным родам нет. Фамилия явно народная, крестьянская или мещанская, возникшая не раньше XVII–XVIII веков, когда в России начали массово закрепляться прозвища в качестве наследственных фамилий. В современных справочниках по ономастике Безчерёмная не фигурирует — это штучный, локальный случай, который интересен именно своей нешаблонной структурой и бытовой подоплёкой.