Фамилия Бежитский — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Модель образования прозрачна: суффикс -ск- указывает на связь с местностью, а корень «беж-» восходит к названию населённого пункта. Скорее всего, перед нами типичная «географическая» фамилия, которую получил человек, владевший землёй или живший в селе с названием вроде Бежицы, Бежичи или Бежецк.

Наиболее вероятная версия ведёт в Тверскую губернию, к городу Бежецк. В старину жителей окрестных деревень и помещиков, чьи вотчины тяготели к Бежецку, могли записывать как Бежецких. Форма «Бежитский» — это либо диалектное искажение (цоканье или замена «е» на «и» под влиянием акающих говоров), либо более поздняя канцелярская ошибка при записи фамилии в метрических книгах. В пользу Бежецка говорит и то, что фамилии на -ский в центральной России часто закреплялись за дворянами и духовенством — именно эти сословия активнее других получали фамилии по названию своих имений или приходов.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от прозвища Беженец или Беглец. В говорах «бежать» могло означать не только спасаться бегством, но и «быстро ходить», «торопиться». Однако суффикс -ский для прозвищной фамилии нетипичен: крестьянину или ремесленнику дали бы Бежин или Бежаев, а не Бежитский. Поэтому прозвищная версия — вторична и слаба.

В написании фамилии стоит обратить внимание на двойное «т»: «Бежитский», а не «Бежицкий». Это не опечатка, а устойчивое написание, которое отличает носителей от родственных фамилий (например, Бежицкий — от города Бежица под Брянском). Если ваши предки — Бежитские, ищите их корни в тверских или новгородских писцовых книгах XVIII века: именно там, вокруг Бежецка, эта фамилия должна была возникнуть и закрепиться.