Фамилия Безюряев — одна из тех, где старый суффикс -ев указывает не на имя отца, а на прозвище или мирское имя, выпавшее из современного языка. В основе лежит слово «безюр» или «безюра», которое в старых русских говорах означало человека беспокойного, неугомонного, непоседливого. В словарях диалектов XIX века зафиксировано слово «безюрить» — суетиться, метаться без толку, делать что-то второпях и невпопад. Соответственно, Безюря — прозвище того, кто постоянно в движении, суетлив, возможно, неуклюж в этой спешке.

Словообразовательная модель простая: основа «Безюр-» + уменьшительно-уничижительный суффикс -я (как в «гуляка», «растеря») + притяжательный суффикс -ев, который превратил прозвище в фамилию: «чей?» — Безюряев, то есть сын Безюри. Сравните с фамилиями Безрукавов, Беспалов — все они образованы от прозвищ, начинающихся с отрицания «без-». Этот тип прозвищ был очень распространён в крестьянской среде: так могли называть за отсутствие какой-то черты (Безбородов), за особенность поведения (Беспокой) или за внешний признак (Безрукавый).

Географически фамилия редкая, её очаг, судя по данным переписей и архивных записей, — центральные и южные губернии России, особенно Курская и Орловская области. В этих краях диалектная лексика с корнем «безюр-» встречается чаще, чем на севере. Дворянского происхождения у Безюряевых нет: фамилия типично крестьянская, возникла не раньше конца XVII века, когда прозвища начали закрепляться за потомками.

Вторую, менее вероятную версию связывают с тюркским словом «без» (пять) и «юр» (дом, жильё), но это натяжка: для фамилий с таким корнем нет устойчивой традиции в русской ономастике, а суффикс -яев скорее указывает на русскую, а не татарскую основу. Правдоподобнее придерживаться славянского объяснения: предок носителя фамилии был человеком, о котором говорили «ну и безюра!» — вечный хлопотун, которого хлебом не корми, дай только побегать.