Фамилия Беззаборкин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, строится через отрицание. Приставка «без-» и корень «забор» — это не про ограду в современном смысле, а про старинное значение слова «забор»: то, что забирает, то есть ограждение, загородка. В русских говорах «забором» называли не только дощатый забор, но и плетень, и даже городьбу из жердей. Соответственно, «беззаборкин» — тот, у кого такого ограждения не было.

Прозвище Беззаборка могли дать человеку, чей дом стоял без забора, то есть либо бедняку, которому нечем было обнести усадьбу, либо, напротив, тому, кто жил на отшибе и не нуждался в ограде. Второй вариант — владелец земли без межевых знаков, что в условиях общинного землепользования было заметной деталью. В любом случае, прозвище указывало на конкретную бытовую примету, а не на характер.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: прозвище на -а (Беззаборка) + суффикс принадлежности -ин. Суффикс -ин указывает на то, что фамилия образована от основы, оканчивающейся на гласный или мягкий согласный (Беззаборк-а → Беззаборк-ин). Это фамилия-притяжательное, буквально «чей?» — «сын Беззаборки».

Фамилия очень редкая. В дореволюционных справочниках и современных телефонных книгах она встречается единично, в основном в центральных и северных губерниях России. Поскольку фамилия недворянская и не попала в родословные книги, её носители, скорее всего, были из крестьян или мещан. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные модели с приставкой «без-» описаны как характерные для прозвищ, описывающих внешние обстоятельства или имущественное положение (ср. Безземельный, Безрукавкин).

Интересно, что фамилия Беззаборкин не имеет ничего общего с украинскими или польскими фамилиями на -ский (вроде Беззаборский). Последние обычно связаны с названием населённого пункта, а Беззаборкин — чисто русское прозвищное образование, где «забор» — не топоним, а предмет быта.