Фамилия «Бфйбарин» — случай, когда написание, скорее всего, искажено при передаче или вводе. В русском языке нет корня «бфйб», и такая комбинация согласных нехарактерна для славянских фамилий. Вероятнее всего, перед нами опечатка или результат неверного прочтения рукописного текста. Исходная фамилия могла быть, например, Байбарин, Бойбарин, Буйбарин или Бубнов.

Если предположить, что основа — «Байбарин», то она восходит к тюркскому прозвищу или имени. «Бай» в тюркских языках означает «богатый, господин», а «бар» — «есть, имеется». Сложносоставное имя Байбар (буквально «богатство есть») было распространено у татар, башкир, казахов. Фамилия Байбарин образована по русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «сын Байбара». Носители такой фамилии — потомки человека, носившего имя Байбар.

Другой вариант — фамилия Буйбарин. Её основа «буй» в тюркских языках может означать «рост, стан» или «племя, род». Буйбар — прозвище высокого или статного человека. В русских говорах слово «буй» также имеет значения «глупый» или «дикий, смелый», но для фамилии тюркская версия выглядит убедительнее из-за характерной модели «буй-» + «-бар».

Суффикс -ин в обоих случаях указывает на патронимическое происхождение. Такие фамилии (на -ин) типичны для северных и центральных областей России, а также активно возникали на территориях с тюркоязычным населением при переходе на русские антропонимические модели. Географически фамилии типа Байбарин или Буйбарин встречаются в Поволжье, на Урале и в Западной Сибири — в зоне контакта славянских и тюркских культур.

Если же написание «Бфйбарин» — не ошибка, а редкая диалектная или заимствованная форма, то её этимология неясна. Без документального подтверждения (например, из метрических книг или ревизских сказок) строить гипотезы рискованно. В любом случае, искать корни стоит, проверив варианты написания в архивах или среди однофамильцев.