Фамилия Биачинский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — Биача — не встречается в русских именах или прозвищах, зато легко узнаётся в топонимике Беларуси и Польши. Деревня Бяча (Biacza) в Гродненской области, село Бяла-Бяча (Biała Biacza) или просто урочище с похожим названием — вот наиболее вероятный источник. Фамилии на -ский в этой части бывшего Великого княжества Литовского традиционно давали по названию поместья или места жительства: пан из Бячи становился Бячинским, а его сын — Биачинским. Форма с «иа» вместо «я» — результат адаптации польского или белорусского произношения при записи в русских документах.

Суффикс -ский указывает на шляхетское или, как минимум, землевладельческое происхождение. В XVI–XVIII веках такую фамилию мог получить не только дворянин, но и крестьянин, переселившийся из деревни в другую местность, — в этом случае окончание служило маркером «откуда родом». Однако для Биачинского именно поместная версия выглядит убедительнее: фамилия слишком редкая и локальная, чтобы быть массовой «географической» меткой.

Вторая, менее вероятная гипотеза, выводит основу из древнерусского «бяша» — так в некоторых говорах называли болтуна или хвастуна (ср. «баять» — говорить). Тогда Биачинский — потомок человека по прозвищу Бяча. Но этому противоречит суффикс: прозвищные фамилии в восточнославянской традиции чаще оформлялись через -ов/-ев или -ин, а -ский оставался уделом шляхты. Поэтому, если вы Биачинский, ваши предки с большой долей вероятности жили на границе современной Беларуси и Польши и носили фамилию по названию небольшого родового гнезда.