Фамилия Биева — женская форма, а её носительница, скорее всего, происходит из семьи, где мужчин звали Биевым. Сама основа фамилии короткая и неочевидная, что открывает простор для двух основных версий происхождения.

Первая и самая вероятная версия — тюркская. В тюркских языках слово «бий» (или «бей») означает «князь», «господин», «правитель». Это древний титул, который на Кавказе и в Поволжье носили родоплеменные вожди и знатные люди. Фамилия Биев могла образоваться от прозвища Бий — так могли назвать человека властного, уважаемого или же потомка княжеского рода. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «сын Бия». Соответственно, Биева — «дочь/жена Бия». Эта версия особенно правдоподобна для осетинских, балкарских, карачаевских или кумыкских фамилий, где титул «бий» был широко распространён.

Вторая версия — славянская, но более редкая. В русских говорах существовало слово «бий» (или «бия») — драчун, забияка, буян. Прозвище Бий могли дать человеку с драчливым или задиристым характером. От этого прозвища по той же модели (чей? — Биев) и возникла фамилия. Однако эта версия менее вероятна: фамилии на -ев от односложных прозвищ в русской среде встречаются, но обычно имеют более прозрачную этимологию (например, Гнеев — от «гнев»). Тюркское происхождение для короткой фамилии с корнем «бий» выглядит логичнее и массово подтверждается географией.

Географически фамилия Биева (и Биев) чаще всего встречается в регионах Северного Кавказа и Закавказья, а также среди татар и башкир. В русских областях она редка. Если ваши предки родом с Кавказа или из Поволжья, корень фамилии почти наверняка указывает на знатное происхождение — не обязательно княжеский титул в прямом смысле, но уважаемое положение в общине. Если же корни ведут в центральную Россию, стоит проверить местные говоры на слово «бия» — возможно, фамилия хранит память о драчливом предке.