Фамилия Биейк — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. В русской традиции фамилии на -ейк не образуются; этот формант характерен для фамилий прибалтийского региона, особенно литовского и латышского происхождения. Скорее всего, Биейк — это русифицированная форма литовской фамилии Bijeikis или латышской Bijeiks.

Основа bij- в балтийских языках восходит к глаголу bijoti (лит.) или bīties (латыш.) — «бояться», «пугаться». Соответственно, исходное прозвище Bijeikis могло означать «пугливый», «робкий», «опасливый человек». Такие прозвища, основанные на особенностях характера, были распространены в крестьянской среде Литвы и Латвии: они не обязательно несли негативный оттенок, часто это была бытовая характеристика, закреплявшаяся за человеком в общине.

Интересно, что фамилия Биейк могла возникнуть и на территории бывшей Речи Посполитой, в том числе в западных губерниях Российской империи (Ковенская, Виленская, Гродненская). После присоединения этих земель к России литовские и польские фамилии нередко записывались на русский лад, теряя окончания: так Bijeikis превращался в Биейка или Биейк. Встречается и вариант Биейко, что характерно для украинизированных или белорусских форм.

Версия о тюркском происхождении (например, от тюркского «бий» — князь, правитель) маловероятна: суффикс -ейк для тюркских фамилий нетипичен, а звуковой облик не соответствует ни одной из распространённых моделей. Таким образом, наиболее обоснованным следует считать балтийский след: предки носителя фамилии Биейк, вероятно, жили на территории современной Литвы или Латвии, а их прозвище указывало на осторожный или боязливый нрав.