Фамилия Биненшток — редкий случай, когда о происхождении можно говорить почти с полной уверенностью, не прибегая к гаданию на корнях. Это немецкая (или ашкеназская) составная фамилия, которая буквально переводится как «пчелиная палка» или «пчелиная трость». Первая часть, «Bienen» (произносится «бинен»), означает «пчёл» (множественное число от die Biene). Вторая часть, «Stock» (читается «шток»), имеет несколько значений: палка, трость, ствол, а также — что ключево для этимологии — колода, улей.

В немецких диалектах и в языке идиш словом «Stock» часто называли именно колодный улей — не дощатый ящик, а выдолбленный обрубок дерева, в котором держали пчёл. Таким образом, Биненшток — это не просто «пчелиная палка», а, скорее всего, профессиональное прозвище пчеловода, бортника или человека, который делал такие ульи. В среде немецких колонистов и еврейских общин Восточной Европы (где идиш был основным языком) фамилии, образованные от названий ремёсел, были обычным делом, и Биненшток встаёт в один ряд с фамилиями Имменшток (Immenstock — то же самое, только от древнего слова «Imme» — пчела) или Цайдлер (Zeidler — пасечник).

Географически фамилия наиболее характерна для земель бывшей Австро-Венгрии, юга Германии (Бавария, Баден-Вюртемберг) и западных регионов Украины (Галиция, Буковина), где до Второй мировой войны существовали крупные немецкие и еврейские общины. Встречается она и в России, но почти исключительно как наследство от переселенцев или репатриантов.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: сложение двух корней без суффикса, что типично для немецких описательных фамилий. Никакой вариативности вроде Биненштоков или Биненштокина быть не может — фамилия склоняется по правилам русского языка, но в исходной форме остаётся неизменной. Единственный спорный момент: иногда Биненшток путают с южнонемецкой фамилией Биненшток (Bienenstock), где ударение падает на первый слог. Однако в русской традиции закрепилось ударение на последний слог — Биненштóк, что ближе к произношению на идиш.

Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они были связаны с пчеловодством, либо жили в местности, где пчелиные колоды были настолько заметной частью хозяйства, что дали человеку прозвище. В любом случае, это одна из тех фамилий, чья этимология не требует длинных экскурсов в историю языка — она буквально «говорит» сама за себя.