Фамилия Биниконская — редкий случай, когда географическое название почти наверняка перевесило личное имя или прозвище. Суффикс -ск- указывает на происхождение от топонима: такую фамилию давали человеку, владевшему или жившему в населённом пункте с основой Биникон-.

Проблема в том, что на современных картах ни Биникона, ни Биниконска нет. Вероятнее всего, это исчезнувшее село, хутор или усадьба на территории бывшей Речи Посполитой — в современных Беларуси, Украине или восточной Польше. Формант -он- в корне (Биникон-) характерен для балтийских и западнославянских топонимов, а окончание -ская типично для польской шляхетской или русской дворянской модели: фамилии на -ский/-ская в XVIII–XIX веках закреплялись за теми, кто владел землёй или происходил из определённой местности.

Корень «Биник-» может восходить к личному имени Беник (уменьшительное от Бенедикт) или к диалектному слову «бинькать» — звенеть, бренчать. Вторая версия слабее, так как прозвище Бинька породило бы фамилию Биниконов, а не Биниконский. Скорее всего, перед нами топонимическая фамилия от названия поселения Биниконы (или Биникуны) — такие названия встречаются в документах XIX века по Виленской и Гродненской губерниям.

Фамилия почти не встречается за пределами бывшего СССР. Носительниц с такой фамилией можно найти в реестрах переселенцев начала XX века — несколько семей выехали из западных губерний в Сибирь и на Дальний Восток. Это даёт основание предположить, что предки Биниконских были крестьянами или мелкопоместной шляхтой, а после разделов Польши перешли в податное сословие.

Ударение в фамилии, скорее всего, на втором слоге: Бини́конская. В разговорной речи иногда смещается на третий — Бинико́нская, но это уже влияние привычки, а не исторической нормы.