Фамилия Бивецкая — редкий случай, когда географическая привязка просматривается почти наверняка, а вот с корнем слова всё сложнее. Судя по структуре, это типичная «-ская» фамилия, то есть образованная от названия места. Суффикс -ск- с окончанием -ая указывает на принадлежность к местности, причём в женском роде (мужской вариант — Бивецкий). Такие фамилии в XIX веке часто получали выходцы из духовенства (семинаристы) или дворяне по названию своих имений, но могли и крестьяне, переселившиеся из конкретного села.

Основа «Бивец» скорее всего восходит к топониму: населённому пункту вроде Бивец, Бивцы или Бивка. На картах встречаются деревни с похожими названиями в Беларуси и на западе России, например, Бивино или Бивни. Если предположить, что в основе лежит слово «бить» (бивец — тот, кто бьёт, воин), то это маловероятно: для прозвищ по действию характерны суффиксы -ец, -ак, но в сочетании с -ск- они почти не встречаются. Правдоподобнее версия, что «Бивец» — это искажённое или диалектное название речки или урочища. В польском языке есть слово «biwiec» (место для битвы, поле), что тоже могло дать топоним на землях бывшей Речи Посполитой.

Интересная деталь: фамилия Бивецкая почти не встречается в старых ревизских сказках и метриках центральной России, зато фиксируется в документах конца XIX века по Витебской и Могилёвской губерниям. Это наводит на мысль, что род мог происходить из белорусского или польского пограничья. Если ваш предок был Бивецким, то, скорее всего, он был либо мелким шляхтичем, либо крестьянином, получившим фамилию по названию хутора или фольварка, где жил.

Однокоренные фамилии — Бивин, Бивнев, Бивцев — встречаются чаще, но Бивецкая стоит особняком из-за своего аристократичного суффикса. В современной России она крайне редка, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если вы нашли Бивецкую в архиве, почти наверняка это один и тот же род.