Фамилия Бивейнис — редкий пример фамилии, образованной от прозвища, которое, скорее всего, имеет литовские корни. Её основа, прозвище Бивейн, восходит к двум литовским словам: be (без) и vien (один, единство). Соединяясь, они дают значение «без единства» или «без одного». Скорее всего, так могли прозвать человека самостоятельного, не участвующего в союзах и объединениях, либо одинокого и нелюдимого. В любом случае, прозвище указывало на характер или образ жизни — независимость, отстранённость от коллектива.

Сама фамилия оформлена по типичной для литовских фамилий модели с суффиксом -ис (-is), который в русской передаче часто закрепляется как -ис или -иc. Этот суффикс указывает на мужской род и является одним из самых распространённых в литовской антропонимии. Встречается фамилия и в написании Бивейнис — с буквой «е» после «в», что отражает особенности произношения исходного прозвища.

В Книге памяти Республики Белоруссия упоминается Бивейнис Иван Игнатьевич, родившийся в 1915 году в деревне Мальковка Мстиславского района. Эта запись — одно из немногих документальных свидетельств бытования фамилии на территории современной Беларуси. Судя по географии, фамилия могла закрепиться среди потомков литовцев или белорусов, живших в зоне литовско-белорусского пограничья, где исторически смешивались языки и культуры.