Фамилия Бивка — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать её по косточкам. В русской фамильной модели суффикс -ка чаще всего указывает на уменьшительную или прозвищную форму. В основе здесь лежит корень «бив-», который напрямую связан с глаголом «бить».

Самая вероятная версия: Бивка — это прозвище, которое давали человеку с крутым, драчливым нравом или, наоборот, тому, кто постоянно получал побои (сравните с фамилиями Биток, Битков). В говорах слово «бивка» могло означать не только действие, но и орудие — например, било (цеп для молотьбы) или часть ткацкого станка. Тогда прозвище могло закрепиться за мастеровитым крестьянином: молотильщиком или ткачом.

Менее очевидная, но тоже возможная версия — топонимическая. Фамилия могла возникнуть от названия деревни или речки Бивка. Такие названия встречаются в западных регионах бывшей Российской империи (например, на территории современной Беларуси или Украины), где слово «бивка» могло быть местным диалектным вариантом. В этом случае фамилия досталась человеку, который переехал из этого места.

С точки зрения словообразования, фамилия Бивка относится к типу прозвищных фамилий на -ка. По модели она близка к фамилиям Бровка, Морозка, Гривка. Суффикс -ка здесь не столько уменьшительный (как в «книжка»), сколько указывает на конкретный предмет или признак. Сословной принадлежности по такой фамилии не определить — её могли носить и крестьяне, и мещане. Встречается она крайне редко, в основном в центральных и южных областях России, а также у потомков переселенцев.